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数学教案-圆的方程

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§7.6  圆的方程(第二课时)
㈠课时目标 
1. 掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。
2. 待定系数法之应用。
㈡问题导学
问题1:写出圆心为(a,b),半径为r的圆的方程,并把圆方程改写成二元二次方程的形式。 -2ax-2by+ =0
问题2:下列方程是否表示圆的方程,判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么?
① ;            ② 1                     
③ 0;            ④ -2x+4y+4=0
⑤ -2x+4y+5=0;             ⑥ -2x+4y+6=0
㈢教学过程
 [情景设置] 
  把圆的标准方程 展开得 -2ax-2by+  =0
  可见,任何一个圆的方程都可以写成下面的形式:
    +Dx+Ey+F=0                                        ①
  提问:方程表示的曲线是不是圆?一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗?
  [探索研究]
  将①配方得 :    ( )  ② 
  将方程 ②与圆的标准方程对照.
  ⑴当 >0时, 方程 ②表示圆心在 (- ),半径为 的圆.
  ⑵当 =0时,方程①只表示一个点(- ).
  ⑶当 <0时, 方程①无实数解,因此它不表示任何图形.
  结论: 当 >0时, 方程 ①表示一个圆, 方程 ①叫做圆的一般方程.
  圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了形式上的特点:
  ⑴ 和 的系数相同,不等于0;
  ⑵没有xy这样的二次项.
 以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件
[知识应用与解题研究]
[例1]  求下列各圆的半径和圆心坐标.
  ⑴ -6x=0;     ⑵ +2by=0(b≠0)
[例2]求经过O(0,0),A(1,1),B(2,4)三点的圆的方程,并指出圆心和半径。
 分析:用待定系数法设方程为   +Dx+Ey+F=0 ,求出D,E,F即可。
[例3]已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线。
 分析:本题直接给出点,满足条件,可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。
 反思研究:到O(0,0),A(1,1)的距离之比为定植k(k>0)的点的轨迹又如何?当k=1时为直线,k>0时且k≠1时为圆。
㈣提炼总结
1. 圆的一般方程: +Dx+Ey+F=0 ( >0)。
2. 二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件是:A=C≠0且B=0。
3. 圆的方程两种形式的选择:与圆心半径有直接关系时用标准式,无直接关系选一般式。
4. 两圆的位置关系(相交、相离、相切、内含)。
㈤布置作业
1. 直线l过点P(3,0)且与圆 -8x-2y+12=0截得的弦最短,则直线l的方程为:
2. 求下列各圆的圆心、半径并画出它们的图形。
⑴    -2x-5=0;  ⑵ +2x-4y-4=0
 3.经过两圆 +6x-4=0和 +6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。





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