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创设操作情境 促进自主探索——《函数的单调性与导数》教学案例

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【引   言】

      学习是获得知识的过程,知识是由学习者在一定的情境下借助其他人(包括教师和同学)、利用必要的学习资料、通过意义建构的方法获得。在这个过程中,学生是信息加工、意义建构的主体,而教师则是意义建构的帮助者和促进者。那么,在教学过程中,教师应该怎样引导学生围绕问题主动展开探索,并发挥师生、生生之间的合作关系进行讨论,得出科学的结论呢?以下是我在新课程教学中的一些尝试,愿与大家一起交流学习。

【背   景】

12月23日,我校举办了“教学开放日”活动,我在这天担任授课教师,任课班级是高二年级的一个集训班,结合我班的教学进度,我决定把课题定为《函数的单调性与导数》,该小节是人教版数学选修2—2的内容,通过本小节的学习,主要要求学生能借助函数图象了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性。

十七世纪中叶,随着对函数研究的深入,产生了微积分,它的创立,被誉为“人类精神的最高胜利”。导数是微积分的核心概念之一,它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具。

本节内容是安排在学生已经学习了导数的概念和导数的几何意义后学习的,由于内容比较容易理解,并考虑到202班学生的基础较好,因此,上这节课前,我的设想就是:积极创设情境,放手让学生去自主探索,让学生亲历亲为,感受数学文化的魅力。

【课堂实录】

    片段一:创设情境,复习切入

    师:在高一的时候,我们就曾经研究过函数的单调性,现在请同学们与我一起来回忆函数单调性的定义。

    生:函数的单调性是指在某个区间内,函数呈现出上升或下降的趋势,就称函数在该区间具有单调性。

    师:很好,如果函数 在某区间是增函数或减函数,那么就说 在这一区间具有单调性,这区间就是该函数的单调区间,怎样判断函数的单调性呢?

x=2
 
y
 
o
 
x
 
下面,我们以函数 为例,来回忆以前我们

是怎样来判断函数的单调性和求解函数的单调区间的。

(该内容对于集训班的学生来说,真是小菜一碟,所以一开始,课堂

气氛显得非常轻松)

生:该函数的开口向上,又因为其对称轴为x=2,

这样,我们就可以画出其大致图像(如图),观察图像可知,该函数

 

在 上是单调递减的;在 上是单调递增的。

      师:看得出来,同学们都很赞同这种解法,不可否认,这种方法对于二次函数普遍适用,但是,随着对函数研究的深入,我们还会碰到高于二次的函数,比如对于函数 ,如果再用这种方法去判断它的单调性和求单调区间就很麻烦了,那我们能不能找到一种更为一般,更为有效的方法来解决这类问题呢?

(课堂上安静了下来,但是能看得出来,学生的思维还没有找到“着陆点”,还不知道应该怎样去思考这个问题。)

      片段二:创设情境,自主探究

    师:同样以函数 的图像来研究,回忆以前的知识我们还知道,函数在某点处的导数的几何意义是函数在该点处切线的斜率。下面,我们在 上去任意找几个点,请一位同学来画出这些点处的切线,看看这些切线的斜率有什么共同特点。

    生:画图(略),我发现这些点处的切线虽然各不相同,但他们的斜率有一个共同的特点就是:都小于0。

    师:你认为这是一种偶然现象吗?

    生:应该不是,因为我找了几个点来看,并且这些点都是在 上任意找的。

    师:那你认为这说明了什么呢?

    生:(试探的)是不是在函数单调递减区间上的每一点处,其导数值都小于0呢?

    师:至少你的这个结论对于函数 成立了,那现在请你继续采用这种方法,去研究一下在区间 上任意点处切线的斜率有什么特征。

    生:不用了,我想,函数在 上任意点处切线的斜率肯定是大于0的。

(下面有同学轻声地笑了)

    师:你这样说一定有你的道理,说说你为什么有这种猜测呢?

    生:因为我觉得在数学中,有很多对称的东西,再说,不用画,我也可以看出来呀。

      师:原来是这样,那么,下面的同学是否也发现这种规律了呢?

      生:是呀,老师,那是不是说,以后要求函数的单调递增区间,只需要找使得函数导数大于0的区间;要求函数的单调递减区间,只需要找使得函数导数小于0的区间呢?

      师:大家不要着急,我们现在只是研究了一个函数,让我们来多研究几个函数。看看是不是有类似的结论。

 
y
 
O
 
x
 
 
o
 
y
 
x
 

>>《创设操作情境 促进自主探索——《函数的单调性与导数》教学案例》这篇教育教学文章来自[www.170yx.com网]www.170yx.com 收集与整理,感谢原作者。       片段三:创设情境,互动交流

      师:我们来看黑板上这几个熟悉的“身影”

y=x
 
y
 
O
 
x
 

 
O
 
y
 
x
 


同学们分为四个小组,每个小组研究一个图像,看看函数的单调性与其导数是否存在着如前面我们所说的那些规律。

      (学生分为四个学习小组,每个小组的成员交流合作,最后,由一名代表阐述本小组的发现)

      生甲:函数y=x的导函数是 ,并且观察图像,该函数在整个实数范围内都是单调递增的。因此,我们认为,函数在某个区间的导数大于0,则函数在该区间为单调递增函数。

      生乙:函数 的导函数是 ,当 时, ,观察图像,此时函数单调递增;当 时, ,观察图像,此时函数单调递减。所以,我们认为,函数的单调性与导数有联系。这种联系就是:函数在某个区间内单调递增,则在该区间其导数大于0;函数在某个区间内单调递减,则在该区间其导数小于0。

      师:两位同学积极主动探索问题,并且我已看出,他们得出的结论已经接近正确的边缘,还需要继续向正确迈进,同学们能补充一下吗?

      (教室里一片安静,同学们进入沉思,不一会儿,又响起了大家相互讨论的声音,第三小组成员的讨论尤为激烈,我想,这个问题应该是由第三组的成员首先发现,果然,马上就看到他们举手了!)

      生丙:老师,从我们组得出的结论来看,好像生乙的结论不正确。

      师:好,那说说你们的见解!

      生丙:我们观察函数 的图像,在实数范围内是单调递增的,接着,我们求出函数 的导函数为 其值是大于或等于零的,所以,我们认为函数在某个区间内单调递增,在该区间其导数大于0。这种结论不一定正确。

      师:很好,那么,怎样说才正确呢?

     (生丙正在考虑怎样表达自己的思想,不想,却被生丁抢过了话头。)

      生丁:倒过来说就可以了,老师。

      师:哦,怎么个“倒”法呢?

    生丁:结合我们组对函数 的研究,我觉得可以这样说:在函数的某个区间内,如果 >0,那么函数 在这个区间内单调递增;如果 <0, 那么函数在这个区间内单调递减。

    师:非常好,这就是我们今天要学习的主要内容,大家一起来看课本,看我们自己的归纳还有那些地方需要补充的。请一位同学来板书这个结论。

    生:(板书)一般地,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果 >0,那么函数 在这个区间内单调递增;如果 <0, 那么函数 在这个区间内单调递减。

【反  思】

 “以生为本”是这个时代对教育提出的新要求,是新课程竭力推崇的新理念。教学以学生为本,就应在教学全过程中关注学生的现状和个体差异,关注学生的体验和发展,努力创设适合学生学习的、可持续发展的环境。现代教育研究已经表明,学生学习的过程不是被动接受的过程,而是自主建构的过程。学生有着一种与生俱来的以自我为中心的探索欲望。我们倡导以生为本,就应该还给他们这种自主权,并助其成长。

倡导“以生为本”,就应尊重学生的已有生活经验和知识体验,并利用它来引发学习、推进学习;就应相信学生的才能和水平,信任学生,创设各种活动情景、问题情景,鼓励学生主动去尝试、动手、发现、交流、创造。本课中,我从学生已有认知水平出发,放手让学生去发现规律,就是基于对学生的充分了解和充分信任。

树立“以生为本”的理念,还要关注学生的情感和体验。体验使学习由认知、理性范畴扩展到了情感、生理和人格等领域,让学习成为不仅长知识长才干的过程,也是让身心和人格得到健全与发展的过程。要有体验就要有真切经历,要有经历就要有全程的主动的参与。一位学者曾经说过:情感等非智力因素是影响学生学习进程的重要因素。喜则爱则追求,厌则恨则远离。本课中,我引导学生进行自主探索与交流合作,并充分肯定学生所做的工作,让学生不断地在成功的情感体验中更加乐思,善学。

值得注意的是,让学生“自主探索”,并不意味着放任自由,怎么“探索”都可以。在这个过程中,教师应该发挥“平等中的首席”作用,在科学性、逻辑性方面把好关。当学生的探索过程出现科学性错误或“偏离轨道”时,如不及时给予纠正和弥补,必定会产生错误的认识或者不能到达我们的结论,此时可以让其他学生来帮助,在得到其他同学的帮助后仍不妥当的情况下,再由老师亲自指导,确保学生始终朝着正确的方向前进。
 

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