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《函数的奇偶性》教学案例

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[案例题旨]
    函数的奇偶性是函数的一个重要性质,它有助于培养学生的理解能力,推理论证能力和探索精神,在高中数学中占有重要的位置。本案例研究的主要问题有:
    1、函数奇偶性的定义是什么?如何理解?
    2、如何利用奇、偶函数的定义判断某些简单函数的奇偶性。
    3、若f1(x)为R上的奇函数,f2(x)为R上的奇函数,g (x)为R上的偶函数,h(x)为R上的偶函数,探究f1(x) ·h(x),g(x) ·f2(x),f1(x) ·f2(x),g(x) ·h(x)的奇偶性。
    4、奇函数,偶函数的图像有何特点? 
[案例背景]
    研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要,如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数,则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像.本节的学习重点是:关于奇函数,偶函数概念的理解,掌握奇函数偶函数的图像的特点.本节课学习目标定为  ①会用定义法判断简单函数的奇偶性.②会用定义探究f1(x) ·f2(x) ( f1,f2 可能同为奇函数或同为偶函数或一个为奇函数,一个为偶函数) 的奇偶性.
[教学设计过程]
    片段一:
    师:在定义中,都有如果对D内的任意一个x , 必有一个-x也在D内,这说明了什么?
    生:这说明一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称。
    师:回答得很好!同学们再思考一下,如果一个函数的定义域不关于坐标原点对称,那么这个函数还会是奇函数或偶函数吗?
    生:一定不会,这是函数既不是奇函数也不是偶函数,因为失去了是奇函数或偶函数成立的前提条件。
    师:下面同学们根据奇函数,偶函数的定义判断下列函数的奇偶性:
    (1)f(x)=x+1       (2)f(x)=x2+1      (3)f(x)=x(x2+1)
    生:(1)既不是奇函数也不是偶函数;
    (2)是偶函数;   (3) 是奇函数.
    师:完全正确!同学们思考f(x)=kx+b(k≠0)有可能是奇函数或偶函数吗?请展开讨论。
    生1:有可能是奇函数,如当b=0时,f(x)=kx(k≠0)满足f(-x)= -f(x)。
    生2:他说的正确,但我认为f(x)=kx+b(k≠0)一定不是偶函数,因为f(-x)≠f(x).
    师:你们总结的很好,当b=0时,f(x)=kx(k≠0)满足f(-x)= -f(x);当b≠0时,f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x), f(x)=kx+b(k≠0)既不是奇函数,也不是偶函数。
那同学们再思考f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是否具有奇偶性呢?
    生:可能具有也可能不具有,特别的当b=0时,f(x)是偶函数;b≠0时既不是奇函数,也不偶函数。
    师:好。对于我们熟悉的一次函数f(x)=kx+b当b=0时为奇函数,否则既不是奇函数,也不偶函数;二次函数f(x)=ax2+bx+c当b=0时为偶函数,否则既不是奇函数,也不偶函数,希望同学们理解并记住。
    师:下面同学们再思考f(x)=x(x2+1)可看成一个奇函数y1=______和偶函数y2=_____的乘积?它是奇函数吗?这说明什么?
    生:y1=x,y2=x2+1这说明一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的乘积是奇函数(  f(x)=g(x)·h(x)  )
    师:好,那么如果g(x)和h(x)同为偶函数或奇函数呢?
    生:f(x)为偶函数。因为f(-x)=g(-x)·h(-x)=g(x) ·h(x) (或f(-x)= -g(x) ·[-h(x)]=g(x) ·h(x))
    师:很好。
    片段2:
    师:奇函数或偶函数的图象有何特点?请同学们作出y= -2x和y=x2+1的图象,并观察有何特点?
    生:奇函数y= -2x的图象是一条过原点的直线,并且关于原点成中心对称图形;偶函数y=x2+1的图象是一条抛物线,顶点是(0,0)、开口方向向上,且关于y轴对称。
    师:回答得太棒了!大家再作出y=4x和y=x2的图象,观察是否有类似的规律?
    生:y=4x的图象也是关于原点成中心对称图形;y=x2与y=x2+1的图象一样也关于y轴对称。
    师:同此我们猜想,奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形,反之亦然;偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数。
    师:请同学们思考自学课本P51倒数第二段。
    生:噢,原来如此。
    师:根据奇、偶函数图象的特点请同学们思考如何作出函数y=1/x2的图象?
    生3:该函数的定义域为(0,+∞)∪(-∞,0),又是偶函数,只需作出y=1/x2在(0,+∞)上的图象,但我不知该怎样做?
    生4:用描点法。(主动到黑板上做图,并根据对称性做出另一部分。)
    生(全体):真棒!
    师:好。同学们,本节课,我们重点学习奇函数,偶函数的定义,大家在理解定义的基础上,要学会判断一个函数的奇偶性。请大家课后总结定义法判断函数奇偶性的步骤,并探究函数f(x)= 的奇偶性。
[案例后记]
    本节课是学生应认真学好的一节课,应重点剖析奇函数,偶函数的概念,并会应用。
课堂教学前后分别安排以下练习:
   预习:
    1、作出y=  x 3 和y=x2的图象
    2、自学课本51页~52页第3段,了解主要内容
    3、了解奇、偶函数图象的特点
    练习:课本P53练习A1、2
    [教后感] 本节课在教学实施的过程中还是遇到了一定的实际困难,有的同学对奇、偶函数的定义感到比较抽象,难于理解;有的同学对奇、偶函数的图象特点的证明思路不够明确。我认为这节课如果结合多媒体教学,让学生结合多个函数的图象观察奇、偶函数的图象的对称性效果会更好些。

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