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数学教案-一元二次方程的根的判别式(一)

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1. 知识结构:

  2. 重点、难点分析

  (1)本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的,用它可以判断一元二次方程根的情况,有助于我们顺利地解一元二次方程,也可以利用它进一步学习函数的有关内容,所以,它是本节课的重点.

  (2)本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为 .因为,所以方程右边的符号就由来确定,而方程左边的不可能是一个负数,因此,把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法,对于分类讨论学生感觉到较难,老师应该讲明分类的基本思想。

  3. 教法建议:

  (1)引入要自然、合理

  新课引入前,作一个铺垫:前面我们讲了一元二次方程的解法,我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后,就可以解任何一个一元二次方程,但是,存在这样一个问题,并不是所有的一元二次方程都有解,我们可以通过把解求出来,来解方程,也可以通过判定方程无解,来解方程,这样我们就面临着一个问题,什么时候方程有解?什么时候方程无解?我们不解方程能不能判定根的情况?那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然,也显露了本节课的重点.

  (2)利用多媒体进行教学

  本节是根的判别式结论的推导,比较抽象,为了便于学生理解,使用所提供的动画,有助于学生对所讲内容的理解,调动学生主动思维的积极性,活跃课堂气氛,提高学习效率.

  (3)本节在推导根的判别式的结论时,利用了分类的思想,对于学生这是一个难点,一定给学生讲清楚分类的依据,分类的基本思想,使学生对所得结论深信不疑.

一、教学目标

  1. 理解一元二次方程的根的判别式,并能用判别式判定根的情况;

  2. 通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力;

  3.通过根的情况的研究过程,让学生深刻体会转化和分类的思想方法.

  二、重点·难点及解决办法

  1.教学重点:会用判别式判定根的情况。

  2.教学难点:一元二次方程根的三种情况的推导.

  3.解决办法:(1)求判别式时,应先将方程化为一般形式,确定a、b、c。(2)利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况(共四种);方程有两个实数根,方程有两个不相等的实数根,方程有两个相等的实数根,方程没有实数根。

  三、教学步骤

  (一)教学过程

  1.复习提问

  (1)平方根的性质是什么?

  (2)解下列方程:① ;② ;③ 。

  问题(1)为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题(2)通过自己亲身感受的根的情况,对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。

  2.任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为 ,因此对于被开方数 来说,只需研究 为如下几种情况的方程的根。

  (1)当 时,方程有两个不相等的实数根。

  即

  (2)当 时,方程有两个相等的实数根,即 。

  (3)当 时,方程没有实数根。

  教师通过引导之后,提问:究竟谁决定了一元二次方程根的情况?

  答: 。

  3.①定义:把 叫做一元二次方程 的根的判别式,通常用符号“ ”表示。

  ②一元二次方程 。

  当 时,有两个不相等的实数根;

  当 时,有两个相等的实数根;

  当 时,没有实数根。

  反之亦然。

  注意以下几个问题:

  (1) 这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用,即对上式开平方,随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论,需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解,所以,在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。

  (2)当 ,说“方程 没有实数根”比较好。有时,也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”,也就是方程无实数根的意思。

  4.例题讲解

  例1  不解方程,判别下列方程的根的情况:

  (1) ;(2) ;(3) 。

  解:(1)

  ∴原方程有两个不相等的实数根。

  (2)原方程可变形为

   。

   ,

  ∴原方程有两个相等的实数根。
(3)原方程可变形为

   。

  

  ∴原方程没有实数根。

  学生口答,教师板书,引导学生总结步骤,(1)化方程为一般形式,确定a、b、c的(2)计算 的值;(3)判别根的情况。

  强调两点:(1)只要能判别 值的符号就行,具体数值不必计算出。(2)判别根据的情况,不必求出方程的根。

  练习:不解方程,判别下列方程的情况:

  (1) ;(2) ;

  (3) ;(4) ;

  (5) ;(6)

  学生板演、笔答、评价。

  (4)题可去括号,化一般式进行判别,也可设 ,判别方程 根的情况,由此判别原方程根的情况。

  例2  不解方程,判别方程 的根的情况。

  解: 。

  又  ∵  不论k取何实数, ,

  ∴  原方程有两个实数根。

  教师板书,引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围,从而确定 的取值。

  练习:不解方程,判别下列方程根的情况。

  (1) ;

  (2) ;

  (3) 。

  学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。

  (3)解:


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  ∵  不论m取何值, ,即 。

  ∴  方程无实数解。

  由数字系数,过渡到字母系数,使学生体会到由具体到抽象,并且注意字母的取值。

  (二)总结、扩展

  1.判别式的意义及一元二次方程根的情况。

  (1)定义:把 叫做一元二次方程 的根的判别式,通常用符号“ ”表示。

  (2)一元二次方程 。

  当 时,有两个不相等的实数根;

  当 时,有两个相等的实数根;

  当 时,没有实数根。反之亦然。

  2.通过根的情况的研究过程,深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。

  四、布置作业

  教材P27A1~4。

  5.不解方程,判断下x的方程的根的情况

  (1)

  (2)

  五、板书设计




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